Geometría

¿Qué es la geometría?

La geometría (del griego geo, “tierra”, y metría, “medición”) es una de las ramas más antiguas de las matemáticas, dedicada al estudio de la forma de los objetos individuales, la relación espacial entre ellos y las propiedades del espacio que los rodea.

Aunque en sus inicios esta disciplina obedecía, como su nombre lo indica, a la medición en su sentido más práctico, con el paso del tiempo la humanidad comprendió que incluso las abstracciones y representaciones más complejas pueden ser expresadas en términos geométricos.

Fue así que surgieron sus numerosas ramas, de la mano del análisis matemático y otras formas de cálculo, sobre todo las que vinculan la representación geométrica con las expresiones matemáticas numéricas y algebraicas.

La geometría es una rama fundamental de las matemáticas, en la cual se fundamentan numerosas disciplinas (como el dibujo técnico o la propia arquitectura) y sirve de complemento a muchas otras (como la física, la mecánica, la astronomía, etc.). Además, ha dado origen a numerosos artefactos, desde el compás y pantógrafo, hasta el sistema global de posicionamiento (GPS).

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Historia de la geometría

La geometría tiene sus orígenes prácticamente en las primeras civilizaciones humanas. Los antiguos babilonios fueron los inventores de la rueda y por lo tanto de la geometría de las circunferencias. Por eso, fueron probablemente los primeros en reconocer el infinito potencial del estudio geométrico, que no tardaron en aplicar a la astronomía.

Otro tanto hicieron los antiguos egipcios, quienes la cultivaban lo suficiente como para aplicarla en sus majestuosas obras arquitectónicas, dado que en ese entonces la geometría y la aritmética eran ciencias eminentemente prácticas.

Numerosos historiadores griegos, como Heródoto (c. 484-c. 425 a. C.), Diodoro (c. 90 a. C. – c. 30 a. C.) y Estrabón (c. 63 a. C. – c. 24 d. C.) reconocieron la importancia del legado geométrico egipcio, y eran considerados los creadores de la disciplina. Sin embargo, fueron los antiguos griegos quienes le dieron a la geometría su aspecto formal, gracias a su avanzado modelo filosófico.

De particular importancia fue el matemático y geómetra Euclides (c. 325 – c. 265 a. C.), reconocido como “padre de la geometría”, quien propuso el primer sistema geométrico de comprobación de resultados, a través de su celebrada obra Los elementos, compuesta cerca del año 300 a. C. en Alejandría. Allí se enuncian por primera vez las diferencias entre el plano (bidimensional) y el espacio (tridimensional).

Otras contribuciones importantes a la geometría de la época fueron las de Arquímedes (c. 287 – c. 212 a. C.) y Apolonio de Perge (c. 262 – c. 190 a. C.). Sin embargo, en los siglos posteriores el desarrollo de la matemática se trasladó a Oriente (India, específicamente, y el mundo musulmán), donde se desarrolló la geometría junto al álgebra y la trigonometría, vinculándolas con la astrología y la astronomía.

Así, el interés por la disciplina volvió a Occidente recién en el Renacimiento europeo, en el cual muchos nuevos nombres se sumaron a su estudio, dando así origen a la geometría proyectiva y sobre todo la geometría cartesiana o geometría analítica, fruto de la obra del filósofo francés René Descartes (1596-1650), portadora de un nuevo método de investigación geométrica que revolucionó y modernizó este campo del saber.

A partir de entonces, tuvo lugar la geometría moderna, de la mano de grandes estudiosos como el alemán Carl Friedrich Gauss (1777-1855), el ruso Nikolái Lobachevski (1792-1856), el húngaro János Bolyai (1802-1860), entre muchos otros, quienes lograron apartarse de los axiomas clásicos de Euclides y fundar un nuevo campo de la disciplina: la geometría no euclidiana.

Objeto de estudio de la geometría

La geometría se ocupa de las propiedades del espacio y en particular de las formas y figuras que lo habitan, ya sea bidimensional (plano) o tridimensionalmente (espacio), tales como los puntos, las rectas, los planos, los polígonos, los poliedros, etcétera. Este tipo de objetos se entienden en términos de idealizaciones, es decir, de proyecciones mentales del espacio, para a partir de allí trasladar (o no) sus conclusiones al mundo de lo concreto.

Tipos de geometría

La geometría posee numerosas ramas diferentes, y su clasificación generalmente responde a la relación que establece con los cinco postulados básicos de Euclides, de los cuales sólo cuatro han sido ampliamente demostrados desde la antigüedad. El quinto, en cambio, debió ser modificado para dar origen a distintas familias de geometrías.

Así, debemos distinguir entre:

Geometría absoluta, aquella que se rige por los cuatro primeros postulados de Euclides.

Geometría euclídea, aquella que acepta también como axioma el quinto postulado euclideano, dando origen a su vez a dos variantes: la geometría del plano (bidimensional) y la geometría del espacio (tridimensional), según la clasificación de los antiguos griegos.

Geometría clásica, aquella en que se recopilan los resultados de las geometrías euclidianas.

Geometría no euclidiana, surgida en el siglo XIX, es aquella que reúne los distintos sistemas geométricos que se alejan del quinto postulado de Euclides, aceptando sin embargo los cuatro primeros o algunos de ellos. Entre ellos están:

• Geometría elíptica o riemanniana, que obedece a los cuatro primeros postulados de Euclides y presenta un modelo de curvatura constante y positiva.
• Geometría hiperbólica o lobachevskiana, que obedece sólo los primeros cuatro postulados de Euclides y presenta un modelo de curvatura constante y negativa.
• Geometría esférica, entendida como la geometría de la superficie bidimensional de una esfera (en lugar de un plano recto), es un modelo más simple de la geometría elíptica.
• Geometría finita, cuyo sistema obedece a un número limitado de puntos (a diferencia de la geometría infinita de Euclides), y cuyos modelos aplican sólo en un plano finito. Existen dos tipos de geometrías finitas: afín y proyectivo.

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